2021年全国高中数学联赛（高联）第一试试题解析与备考建议全国高中数学联赛（简称高联）是中国数学奥林匹克竞赛体系中的重要环节，2021年高联一试题延续了往年的命题风格，注重考查学生的数学思维能力和解题技巧。我们这篇文章将系统分析2021年

2021年全国高中数学联赛（高联）第一试试题解析与备考建议

全国高中数学联赛（简称高联）是中国数学奥林匹克竞赛体系中的重要环节，2021年高联一试题延续了往年的命题风格，注重考查学生的数学思维能力和解题技巧。我们这篇文章将系统分析2021年高联一试题的命题特点、难点分布及解题策略，并提供针对性的备考建议。主要内容包括：试题整体评价；典型试题深度解析；核心考点分布；常见失分点分析；2022年备考策略；竞赛资源推荐；7. 常见问题解答。

一、试题整体评价

2021年高联一试试题结构保持稳定，包含8道填空题和3道解答题，总分120分。试题难度呈现梯度分布：

• 基础题（占40%）：主要考查集合、函数、复数等基础知识点
• 中档题（占35%）：涉及排列组合、平面几何等需要综合运用的知识
• 压轴题（占25%）：重点考查数论、组合数学等高阶思维能力

与2020年相比，2021年试题在解析几何部分的考查比例有所增加，对空间想象能力的要求显著提高。

二、典型试题深度解析

1. 压轴题解析（第11题）

原题重现：设正整数n≥3，证明存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对任意两个不同的元素a,b∈S，都有(a+b)/gcd(a,b)∈S。

解题思路：

1. 构造法：考虑形如{1,2,...,n}的连续整数集合
2. 验证性质：通过数学归纳法证明满足题设条件
3. 特例检验：当n=3时，集合{1,2,3}满足条件

难点突破：需要发现连续整数集合gcd的特殊性质，以及(a+b)/gcd(a,b)的取值规律。

2. 复数创新题（第5题）

题目特点：将复数运算与几何变换结合，考查数形结合能力。

标准解法：通过建立复数平面坐标系，转化为向量旋转问题求解。

三、核心考点分布

知识模块	题量	分值	难度系数
代数	3	28	★★★
几何	2	22	★★★★
数论	1	12	★★★★★
组合数学	2	24	★★★★

注：难度系数最高为5星

四、常见失分点分析

根据各省阅卷反馈，主要失分集中在：

1. 审题不严：第7题"最大值"误认为"最小值"导致大批量失分
2. 过程跳步：解答题关键推导步骤缺失扣分严重
3. 计算错误：复数运算、多项式展开等基础计算失误
4. 时间分配：部分考生在压轴题耗时过多影响整体发挥

五、2022年备考策略

1. 知识体系构建

• 重点强化：组合数学（图论、计数原理）、高等数论（同余理论）
• 新增关注：解析几何与立体几何的综合应用

2. 训练建议

阶段规划：

1. 基础阶段（3-6月）：完成《数学奥林匹克小丛书》基础篇
2. 提高阶段（7-8月）：专题突破历年高联真题
3. 冲刺阶段（9月）：模拟考试训练（限时完成近三年真题）

六、竞赛资源推荐

纸质资料：

• 《高中数学竞赛培优教程》（李胜宏著）
• 《走向IMO》系列丛书

在线平台：

• 中国数学会官网竞赛专栏
• Art of Problem Solving（AOPS）国际论坛

七、常见问题解答Q&A

高联一试与二试的主要区别是什么？

一试侧重基础知识全面考查，二试专注深度思维考察（仅4道大题）。一试成绩通常决定能否进入二试，两部分成绩按比例计入总成绩。

自学备考高联需要多长时间？

建议至少6-8个月的系统准备。每天保持2小时有效训练，周末可适当增加模拟测试时间。

如何平衡高考与竞赛学习？

建议采用"主线+分支"策略：以高考知识体系为主干，将竞赛内容作为深化拓展。特别注意两者在函数、数列等模块的知识衔接。